Denk mal!

Die Rechen- oder Denksportaufgabe aus dem Info regional 1/2024 war nicht so leicht zu lösen, aber eine Ingenieurin unter unseren Mitgliedern hat sich doch herausgefordert gefühlt und hat mir die richtige Lösung zukommen lassen, vielen Dank und großes Lob dafür!

Zur Lösung kann man entweder durch logisches Denken kommen oder auf mathematischem Weg. Der erste Weg ist in dem erwähnten Buch „Der Wettlauf mit der Schildkröte“ von Heinrich Hemme beschrieben, in dem es sinngemäß heißt:

Nachdem das Zugende den Fußgänger B passiert hat, geht Fußgänger A noch 10 m weiter. In dieser Zeit legt das Zugende die 70 m lange Strecke zwischen den Haltepunkten von B und A zurück. Folglich ist der Zug siebenmal so schnell wie A und B. In der Zeit, in der A seine 40 m gegangen ist, hat der Zuganfang also 280 m zurückgelegt. Da sich A nach 40 m gerade auf der Höhe des Zugendes befindet, muss der Zug somit 280 m – 40 m = 240 m lang sein.

Ich hatte mich für den mathematischen Weg entschieden, der etwas länger ist, aber der Schritt für Schritt auch zur Lösung führt:

Ausgehend von der Tatsache, dass der Zug schneller ist als die beiden Fußgänger, kann man sagen, dass in der Zeit, in der ein Fußgänger 1 Meter zurücklegt, der Zug eine unbekannte größere Wegstrecke x Meter zurücklegt.

Deshalb gilt: Wenn B dem Zug 1 Meter entgegengeht, dann sind an B 1 Meter plus x Meter der Zuglänge an ihm vorbeigefahren. Wenn B 30 Meter entgegengegangen ist, bis ihn das Zugende erreicht hat, dann ist die gesamte Zuglänge an ihm vorbeigefahren, d.h. 30 Meter plus 30x Meter. Damit hat man eine Gleichung für die Zuglänge L:

L = 30 m + 30x m

Wenn A in gleicher Richtung wie der Zug läuft, dann hat ihn der Zug nach 1 Meter um x Meter minus 1 Meter überholt. Nach 30 Meter hat ihn der Zug um 30x Meter minus 30 Meter überholt.

Zu diesem Zeitpunkt liegen zwischen A und dem Ausgangspunkt, an dem A und B losgelaufen sind, 30 Meter, genauso wie zwischen B und dem Ausgangspunkt. Das heißt, hinter A liegen noch 60 Meter Zuglänge.

Jetzt legt A einen weiteren Meter zurück, währenddessen der Zug an ihm um x Meter minus 1 Meter vorbeigefahren ist. Erst wenn A 10 weitere Meter zurückgelegt hat, insgesamt also 40 Meter, fährt das Zugende an ihm vorbei, wobei der Zug 10x Meter minus 10 Meter zurückgelegt hat, nämlich genau die 60 Meter Zuglänge, die nach dem 30. Meter noch hinter ihm gelegen haben. Daraus ergibt sich die Gleichung

10x m – 10 m = 60 m, woraus folgt: x = 7.

Setzt man in die Gleichung für die Zuglänge x = 7 ein, erhält man für die Zuglänge L:

L = 30 m + 30 * 7 m, oder 30 m + 210 m = 240 m.

Der Zug ist also 240 m lang.

Ich hoffe, der/die eine oder andere hatte Spaß am Lösen der Rätselfrage.

Wolfgang Förster